比方说，解析几何开头的「向量代数」定义了向量的「内积」「外积」（或曰「点乘」「叉乘」）「三重积」「混合积」，然后戛然而止。在高等代数里面也没有继续展开，印象里面对这个话题进一步讨论就到了抽象代数课程了。
为什么扯到这个话题，还是因为「不忘初心，牢记使命」，恶补数学的目的就是为了夯实设定的数学基础，所以《恶补记》要当做《设定集》的「注」的「疏」来看待。在注释的时候就反复强调过了，《设定集》的目标是政治和意识形态斗争，所以肯定不能「以作者昏昏使读者昭昭」随便口胡。于是相应的，恶补也是有目标的，就是因为学渣对数学常识那模模糊糊的印象体现到作品当中之后，为了「增强说服力」，需要「夯实基础」，至少要「圆谎」。
因为「卡壳世界」是「隐式」的「四维空间」，从而才有「神秘主义」力量存在，所以恶补老三篇的目的，都是为了「处理」四维空间当中的数学对象。注释中提到过了，四维空间有无穷多种微分结构，建立于之上的「物理定律」未必与本位面相同，于是「分析」的恶补方向有了；而四维空间当中的「正多胞体」被设定为对应「元素」，相应的各种变换被设定为「化学反应」，于是几何的恶补方向有了；而描述四维空间各种「运动」的数学，就是代数的恶补方向。
看到上面的「外积」或「叉乘」字眼，凡是「数学学到大一」的读者都知道，结果也是个矢量，并且方向垂直于「乘数」与「被乘数」，这就是「外」这个字眼的含义：突破了空间限制。那么，设定中「意识短暂的微弱的向着第四维延伸从而借来魔网力量」的观点，就有了描述的可能性。
而三维空间内向量的「外积」除了教材上定义的那种情况之外，还可以利用「四元数」的「虚部」定义坐标，利用四元数乘法结果的「虚部」表示。那么两个「纯虚四元数」做乘法的结果中被「舍去」的「实部」跑哪儿去了？这个模糊的印象，以及当年看到这里时的隐约质疑，是我在设定中提出「意识突破空间限制」观点的出发点。
这里的「乘法」字眼指的是把四元数视为「多项式」的初等代数运算，被称为「格拉斯曼积」，还留着「实部」不动。而四元数上面定义的各种「积」多了，所谓几何意义的「欧几里得外积」偏偏就是舍掉实部返回向量，这与我所「期待」的「外积」不同吖。
无论用什么字眼，被称作「乘法」或「积」的「二元关系」，肯定要符合一定的「代数原则」，包括但不限于可交换可结合可分配之类。虽然具体情况具体分析，特殊基因特殊待遇，某些场合某些运算未必全都符合这些原则，但是钦定全都不符合原则的运算还是没脸自称「二元关系」的吧。总之，这个印象我还是有的。
然后接下来的话题就是「到底『外积』能定义在多少维空间之上」的刨根问底。在《〈设定集〉缘起〔下〕》当中也提到了，因为看一堆披着奇幻皮的科幻随便口胡「降维」之类情节，包括但不限于讽刺过的某网文，感觉「没有说服力」，高维空间的性质与本位面常识有本质不同。所以至少也要「引以为戒」不能在自己的作品中出现同样的硬伤。
数学上的结论已经有了，三维再往上，只有七维才有「外积」，还是利用八元数的「虚部」做同样处理，同样还是「舍去」那指向第八维的「实部」。看到这「七上八下」字眼，作为学渣的我「思路广欢乐多」，立刻就「肤浅装哔」想起了「七维怪球」，也就是与八维空间单位球同胚但不微分同胚的那米尔诺于1956年发现的二十八个流形。
回到《设定集》的构思之上。虽然已知「卡壳世界」与本位面似乎有着「本质」不同，但「表面」还是大同小异，于是才有可类比本位面的历史与现实。所以，还得考虑世界观在「表面」上总得过得去，不能太「怪」了，最起码不能在日常生活中违背常识。那么问题又涉及了代数。
所以，按照三维空间的本位面常态，包括但不限于「距离感」，以及本位面尤其是境内平均人口素质，包括但不限于「数学学到初一」熟练掌握「四则运算」，划定了一条世界观底线：所谓「异位面运算」的原则也必须是「赋范可除代数」！
理由也很简单：若是在作品里面斗胆揭露钦定主角龙傲天连除法都做不了，作为我中华兲朝上国革命接班人的娱乐至死の逗哔们会尽可能利用所有通讯带宽狂喷作者顺便吹捧钦定文豪吖。
于是，【胡尔维茨定理】出场：
任何带有单位元的赋范可除代数同构于以下四个代数之一：$\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{H}, \mathbb{O}$，分别代表实数、复数、四元数和八元数。
这是阿道夫・胡尔维茨（Adolf Hurwitz）于一百二十年前证明的「老掉牙」的结论。至于在当代党国栋梁青年才俊们看来「脱离时代」与否，留做习题答案略，读者自证不难。
简单说，这四个「代数」的「原则」是越来越「宽松」的：复数没有「秩序」，四元数没有「交换」，八元数没有「结合」。而只会从有限角度考虑问题的家伙更熟悉的有理数域$\mathbb{Q}$「可数」，实数则「不可数」。也就是说，「地位」越高越能「为所欲为」，如果「地位」不够高，「有錢是真的能為所欲為的．ｇｉｆ」的二十年目睹之怪现状也不会出现。
到了这里，为《设定集》数学基础「圆谎」的革命任务似乎看到了曙光。只要以四维空间各种几何性质为基础，应该可以解释大部分已经想到的破绽。剩下仍然解释不了的内容，再考虑结合部分八维空间几何性质。然后问题又回到了古典几何之上。